MỤC LỤC
§CHỦ ĐỀ ❶. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN....................................................................... 2
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức............................................................................................................................... 2
Ⓑ. DẠNG TOÁN CƠ BẢN ................................................................................................................... 2
⬩Dạng ❶: Phương trình bậc nhất hai ẩn. ......................................................................................... 3
⬩Dạng ❷: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. ................................................................................... 5
⬩Dạng ❸:Toán ứng dụng thực tế ........................................................................................................ 7
Ⓒ. BÀI TẬP RÈN LUYỆN .................................................................................................................. 9
⬩Dạng ❶: Phương trình bậc nhất hai ẩn. ......................................................................................... 9
⬩Dạng ❷: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. ................................................................................. 14

1

§CHỦ ĐỀ ❶. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức

➊. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Lý thuyết

Phương trình bậc nhất hai ẩn:
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
trong đó a, b, c là các số đã biết (gọi là hệ số), a và b không đồng thời bằng 0 .
Nếu giá trị của vế trái tại 𝑥 = 𝑥0 và 𝑦 = 𝑦0 bằng vế phải thì cặp số ሺ𝑥0 ; 𝑦0 ሻ được gọi là
một nghiệm của phương trình.
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

➋. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Lý thuyết

Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm của nó:
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
൜ '
𝑎 𝑥 + 𝑏'𝑦 = 𝑐 '
Trong đó, a, b, c, a' , b' , c ' là các số đã biết (gọi là hệ số), a và b không đồng thời bằng 0 ,
a' và b' không đồng thời bằng 0 .
Nếu ሺx0 ; y0 ሻ là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2) thì ሺx0 ; y0 ሻ được gọi là
một nghiệm của hệ (I).
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

Ⓑ. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

2

⬩Dạng ❶: Phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương trình bậc nhất hai ẩn
Trong đó
Nếu tại

và
và

và

là hệ thức dạng:

là các số đã biết (

hoặc

ta có

).

là một khẳng định đúng thì cặp số

được gọi là một nghiệm của phương trình
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn .
Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên, ta biểu diễn
theo (hoặc theo ) rồi đưa ra kết luận về công thức nghiệm tổng quát.
Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường

thẳng

có phương trình

.

Ví dụ minh họa:
▶Ví dụ ①

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Xác định
các hệ số a, b, c của phương trình bậc nhất hai ẩn đó.
a) 3𝑥 + 5𝑦 = −3;
c) −4𝑥 + 0𝑦 = 5;
b) 0𝑥 − 2𝑦 = 7;
d) 0𝑥 + 0𝑦 = 8.
Lời giải
a) 3x + 5y = −3 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 3, b = 5, c = −3.
b) 0x − 2y = 7 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0, b = −2, c = 7.
c) −4x + 0y = 5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = −4, b = 0, c = 5.
d) 0x + 0y = 8 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = 0 và b = 0.
▶Ví dụ ②

Cho phương trình 3x − y = 1. Trong hai cặp số ሺ1; 2ሻ và ሺ1; −2ሻ, cặp số nào là nghiệm của
phương trình đã cho?

Lời giải
⬩Cặp số ሺ1; 2ሻ là nghiệm của phương trình đã cho vì 3,1 − 2 = 1.
⬩Cạp số ሺ1; −2ሻ không là nghiệm của phương trình đã cho vì 3 . 1 − ሺ−2ሻ = 5 ≠ 1.

3

▶Ví dụ ③

Biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
a) −3𝑥 + 𝑦 = 2;
b) 0𝑥 + 𝑦 = −2;
c) 2𝑥 + 0𝑦 = 3.
Lời giải
a) Viết lại phương trình thành 𝑦 = 3𝑥 + 2.
⬩Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 3x + 2
(Hình 1 ).

Hình 1 .

b) Viết lại phương trình thành 𝑦 = −2.
⬩Từ đó, tât cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc
với Oy tại điểm Mሺ0; −2ሻ (Hình 2ሻ.

Hình 2
c) Viết lại phương trình thành 𝑥 = 1,5.

4

⬩Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng d viông góc
với Ox tại điểm Nሺ1,5; 0ሻ (Hình 3 ).

Hình 3

⬩Dạng ❷: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

1. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
☑Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn
lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
☑Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
☑ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0) để hệ số của cùng
một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
☑ Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn
chứa một ẩn.
☑ Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ minh họa
▶Ví dụ ①

Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai
ẩn?
𝑥 + 3𝑦 = 3
2𝑥 + 0𝑦 = 0
0𝑥 + 0𝑦 = −5
a) ൜
b) ൜
c) ൜
2𝑥 + 𝑦 = −4
0𝑥 − 3𝑦 = 1
2𝑥 + 7𝑦 = 3
Lời giải
5

𝑥 + 3𝑦 = 3
là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩ với 𝑎 = 1, b = 3, c = 3 và
2𝑥 + 𝑦 = −4
a' = 2, b' = 1, c ' = −4.
a) Hệ phương trình ൜

b) Hệ phương trình ൜

0𝑥 + 0𝑦 = −5
không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = b =
2𝑥 + 7𝑦 = 3

0.
2𝑥 + 0𝑦 = 0
là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với 𝑎 = 2, b = 0, c = 0
0𝑥 − 3𝑦 = 1
và a' = 0, b' = −3, c ' = 1.
c) Hệ phương trình ൜

▶Ví dụ ②

Cho hệ phương trình ൜

2𝑥 + 3𝑦 = 7
.
𝑥 − 3𝑦 = −1

Trong hai cặp số ሺ2; 1ሻ và ሺ−1; 3ሻ, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?
Lời giải
2.2 + 3 ⋅ 1 = 7
⬩ Cặp số ሺ2; 1ሻ là nghiệm của hệ phương trình vì {
2 − 3 ⋅ 1 = −1
⬩ Cặp số ሺ−1; 3ሻ không là nghiệm của hệ phương trình vì ൜

2 ⋅ ሺ−1ሻ + 3 ⋅ 3 = 7
−1 − 3 ⋅ 3 = −10ሺ≠ −1ሻ.

▶Ví dụ ③

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn 𝑥, 𝑦?
a) 2𝑥 − 𝑦 = 1.

c) 5𝑥 + 0𝑦 = −2.

b) 0𝑥 + 3𝑦 = 9.

d) 3𝑥 2 − 𝑦 = 7.
Lời giải

⬩ Phương trình ở các câu a, b, c là phương trình bậc nhất hai ẩn 𝑥, 𝑦.
⬩ Phương trình ở câu d không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn 𝑥, 𝑦.

6

⬩Dạng ❸:Toán ứng dụng thực tế
▶Ví dụ ①

Cô Hạnh có hai khoản đầu tư với lãi suất là 8% và 10% mỗi năm. Cô Hạnh thu được tiền
lãi từ hai khoản đầu tư đó là 160 triệu đồng mỗi năm. Viết phương trình bậc nhất hai ẩn
cho hai khoản đầu tư của cô Hạnh và chỉ ra ba nghiệm của phương trình đó.
Lời giải
♦ Gọi 𝑥 (triệu đồng) là khoản đầu tư với lãi suất là 8% mỗi năm ሺ𝑥 > 0ሻ. Khi đó, tiền lãi thu được
mỗi năm từ khoản đầu tư này là:
8% ⋅ 𝑥 =

2𝑥
(triệu đồng).
25

♦ Gọi 𝑦 (triệu đồng) là khoản đầu tư với lãi suất là 10% mỗi năm ሺ𝑦 > 0ሻ. Khi đó, tiền lãi thu
được mỗi năm từ khoản đầu tư này là:
10% ⋅ 𝑦 =

𝑦
(triệu đồng).
10

♦ Ta có phương trình bậc nhất hai ẩn 𝑥, 𝑦 cho hai khoản đầu tư của cô Hạnh là:
2𝑥 𝑦
+
= 160 hay 4𝑥 + 5𝑦 = 8000
25 10
♦ Ba nghiệm của phương trình trên là: ሺ100; 1520ሻ, ሺ500; 1200ሻ, ሺ1000; 800ሻ.
▶Ví dụ ②

Một trường trung học cơ sở mua 500 quyển vở để làm phẩn thưởng cho học sinh.
Giá bán của mỗi quyển vở loại thứ nhất, loại thứ hai lần lượt là 8000 đồng, 9000
đồng. Hỏi nhà trường đã mua mỗi loại bao nhiêu quyển vở? Biết rằng số tiền
nhà trường đã dùng để mua 500 quyển vở đó là 4200000 đồng.
Lời giải
Gọi số quyển vở loại thứ nhất, loại thứ hai lần lượt là 𝑥, 𝑦ሺ𝑥 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℕሻ.
Theo giả thiết, ta có phương trình: 𝑥 + 𝑦 = 500.
Mặt khác, ta có phương trình: 8000𝑥 + 9000𝑦 = 4200000, tức là 8𝑥 + 9𝑦 = 4200.
Ta có hệ phương trình: ൜

𝑥 + 𝑦 = 500
8𝑥 + 9𝑦 = 4200

Ta giải hệ phương trình trên:
Từ phương trình (1), ta có: 𝑦 = 500 − 𝑥.
Thay vào phương trình (2), ta được: 8𝑥 + 9ሺ500 − 𝑥ሻ = 4200
7

Giải phương trình (3): 8𝑥 + 9ሺ500 − 𝑥ሻ = 4200
8𝑥 + 4500 − 9𝑥 = 4200
−𝑥 + 4500 = 4200
𝑥 = 300.
Thay giá trị 𝑥 = 300 vào phương trình 𝑦 = 500 − 𝑥, ta có: 𝑦 = 500 − 300 = 200.
Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm ሺ𝑥; 𝑦ሻ = ሺ300; 200ሻ.
Vậy nhà trường đã mua 300 quyển vở loại thứ nhất và 200 quyển vở loại thứ hai.
▶Ví dụ ③

Tìm các hệ số 𝑥, 𝑦 để cân bằng phương trình phản ứng hoá học: 𝑥Fe3 O4 + O2 → 𝑦Fe2 O3 .

Lời giải
⬩ Phương trình ở các câu a, b, c là phương trình bậc nhất hai ẩn 𝑥, 𝑦.
⬩ Phương trình ở câu d không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn 𝑥, 𝑦.

Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với Fe và O, ta có: ൜

3𝑥 = 2𝑦
.
4𝑥 + 2 = 3𝑦

3𝑥 = 2𝑦
3𝑥 − 2𝑦 = 0
Giải hệ phương trình: ൜
hay ൜
4𝑥 + 2 = 3𝑦
4𝑥 − 3𝑦 = −2
Nhân hai vế của phương trình (1) với -4 và nhân hai vế của phương trình (2) với 3, ta được
hệ phương trình sau: ൜

−12𝑥 + 8𝑦 = 0
12𝑥 − 9𝑦 = −6

Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: −𝑦 = −6, tức là 𝑦 = 6.
Thế giá trị 𝑦 = 6 vào phương trình 3𝑥 = 2𝑦, ta được phương trình: 3𝑥 = 2.6 (5)
Giải phương trình (5): 3𝑥 = 2.6
3𝑥 = 12
𝑥 = 4.
Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm ሺ𝑥; 𝑦ሻ = ሺ4; 6ሻ.
Vậy ta có phương trình sau cân bằng: 4Fe3 O4 + O2 → 6Fe2 O3 .

8

Ⓒ. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
⬩Dạng ❶: Phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu 1: Trong các hệ thức sau, hệ thức nào là phương trình bậc nhất hai ẩn?

2 x − 3 y = 5 4 x + 7 y = 10 −3x + 5 y = 2
0x + 2 y = 4 2 x − 0 y = 3 0x − 0 y = 6

Lời giải
Hệ thức 0 x − 0 y = 6 có a = b = 0 nên không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn. Các hệ thức
còn lại đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu 2: Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau:
a) 3x − y = 2 ; b) x + 5 y − 3 = 0
c) 4 x + 0 y = −2 d) 0 x + 2 y = 5
Lời giải
a) 3x − y = 2 Suy ra y = 3x − 2 . Vậy phương trình có nghiệm tổng quát ( x;3x − 2 ) với x 
tuỳ ý
b) x + 5 y − 3 = 0 Suy ra x = −5 y + 3 . Vậy phương trình có nghiệm tổng quát ( −5 y + 3; y ) với

y
 1
 2




c) 4 x + 0 y = −2 . Phương trình có nghiệm tổng quát  − ; y  với y 




5
2

d) 0 x + 2 y = 5 . Phương trình có nghiệm tổng quát  x;  với x 

tuỳ ý.

tuỳ ý.

Câu 3: Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a) (1;2 ) là nghiệm của phương trình mx + y − 5 = 0 ;
b) Điểm A(0;3) thuộc đường thẳng 4 x + my − 6 = 0 .
Lời giải
a) Thay x = 1, y = 2 vào phương trình ta có m.1 + 2 − 5 = 0  m = 3 .
b) Thay x = 0, y = 3 vào phương trình đường thẳng, ta có 4.0 + m.3 = 6  m = 2 .
Câu 4: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của phương trình x + 5 y = 3 trên mặt
phẳng tọa độ.
Lời giải
Ta có: x + 5 y = 3  x = 3 − 5 y

9

x = 3 − 5y
y

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là 

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình là đường thẳng x + 5 y = 3 .
+ Tại y = 0 thì x = 3 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm ( 3; 0).
+ Tại thì y =

3
3
⇒ Đường thẳng đi qua điểm ( 0; ).
5
5
3
5

Vậy đường thẳng x + 5 y = 3 là đường thẳng đi qua hai điểm ( 3; 0 ) và ( 0; ).

Câu 5: Xét phương trình x − 10 y = −4
a) Hãy chỉ ra ba nghiệm của phương trình.
b) Viết tập nghiệm của phương trình.
Lời giải
a) Ba cặp số ( 6;1 ) ; ( −4;0 ) và ( −14; −1 ) là ba nghiệm của phương trình.
b) Ta có: x − 10 y = −4 ⇔ x = 10 y − 4 .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là (10 y − 4; y )
Câu 6:

( y  R) .

Giả sử ( x; y ) là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2 y = 5

a) Hoàn thành bảng sau đây:

Từ đó suy ra 5 nghiệm của phương trình đã cho.
b) Tính y theo x . Từ đó cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm.
Lời giải
a) Ta có:

10




7
2




5
2

Vậy 5 nghiệm của phương trình đã cho là:  −2;  ; ( −1;3) ;  0;  ; ( 3;1) ; (1;2 )
b) Ta có: y =

5− x
. Với mỗi giá trị x tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị y tương
2

ứng. Do đó phương trình đã cho vô số nghiệm.

Xác định a để phương trình ax − y = 1 có nghiệm: ( 2;5)
Viết công thức nghiệm và biểu diễn tập nghiệm với a tìm được trên mặt phẳng tọa độ.
Câu 7:

Lời giải
Phương trình ax − y = 1 có nghiệm ( 2;5)

 2a = 6  a = 3
Vậy khi a = 3 thì phương trình ax − y = 1 có nghiệm ( 2;5) .
Với a = 3 có 3x − y = 1 => y = 3x − 1

x  R
 y = 3x − 1

Công thức nghiệm của phương trình 

Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.
+ Tại y = 0 thì x =

1
⇒ Đường thẳng đi qua điểm
3

1 
 ;0  .
3 

+ Tại x = 0 thì y = −1 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm ( 0; −1 ) .

1
3




Vậy đường thẳng y = 3x − 1 là đường thẳng đi qua hai điểm  ;0  và ( 0; −1).

Câu 8: Kiểm tra cặp số sau có phải là nghiệm của phương trình 2 x − y − 1 = 0 hay không?
a) (1;1) ; b) (0,5;3) . c) ( 0;0 )

Lời giải
11

a) Thay x = 1 và y = 1 vào phương trình, ta có 2.1 − 1 − 1 = 0 . Vậy cặp số (1;1) là nghiệm của
phương trình.
b) Thay x = 0,5 và y = 3 vào phương trình, ta có 2.0,5 − 3 − 1 = −3  0 . Vậy cặp số (0,5;3)
không là nghiệm của phương trình.
c) Thay x = 0 , y = 0 vào phương trình ta có −1  0 . Vậy cặp số ( 0;0 ) không phải là nghiệm của
phương trình.
Câu 9: Trong các cặp số (2;1) , (3; −1) , (0;5) cặp số nào là nghiệm của phương trình x + 2 y − 4 = 0 .
Lời giải
Với (2;1) , ta có 2 + 2  1 − 4 = 0  ( 2;1) là nghiệm.
Với ( 3; −1) , ta có 3 + 2  ( −1) − 4 = −3  0  (3; −1) không là nghiệm.
Với ( 0;5) , ta có 0 + 2  5 − 4 = 6  0  ( 0;5) không là nghiệm.
Câu 10: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt
phẳng tọa độ:
a) x − 3 y = 6
b) 7 x + 0 y = 14
c) 0 x − 4 y = 8
Lời giải
a) Ta có: x − 3 y = 6  x = 6 + 3 y

x = 6 + 3y
y

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là 

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình là đường thẳng x − 3 y = 6 .
+ Tại y = 0 thì x = 6 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm ( 6; 0).
+ Tại x = 0 thì y = −2 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm ( 0; −2 ) .
Vậy đường thẳng x − 3 y = 6 là đường thẳng đi qua hai điểm ( 6; 0 ) và (0; −2) .
Hình vẽ:

12

b) Ta có: 7 x + 0 y = −14  7 x = −14  x = −2

 x = −2
y

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là 

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình là đường thẳng x = −2 .
Vậy đường thẳng là đường thẳng song song với trục tung, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng −2 .
Hình vẽ:

c) Ta có: 0 x − 4 y = 20  −4 y = 20  y = −5

x 
 y = −5

Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là 

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình là đường thẳng y = −5 .
Vậy đường thẳng y = −5 là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng −5 .
Hình vẽ:

Câu 11: Tìm 3 nghiệm của phương trình 2 x − 3 y = 5 .
Lời giải

13

+ Cho y = 0  x =

5 5 
  ;0  là một nghiệm của phương trình.
2 2 

+ Cho y = 1  x = 4  ( 4;1) là một nghiệm của phương trình.
+ Cho y = −1  x = 1  (1; −1) là một nghiệm của phương trình.

5 
  ;0  , ( 4;1) , (1; −1) là 3 nghiệm cần tìm của phương trình 2 x − 3 y = 5 .
2 
Câu 12: Tìm 4 nghiệm của phương trình x − 6 y = −2 .
Lời giải
+ Cho y = 0  x = −2  ( −2;0) là một nghiệm của phương trình.
+ Cho y = 1  x = 4  ( 4;1) là một nghiệm của phương trình.
+ Cho y = −1  x = −8  ( −8; −1) là một nghiệm của phương trình.
+ Cho y =

1
 1
 x = 1   1;  là một nghiệm của phương trình.
2
 2

 1
 ( −2;0 ) , ( 4;1) , ( −8; −1) , 1;  là 4 nghiệm cần tìm của phương trình x − 6 y = −2 .
 2
Câu 13:

Xác định a để phương trình ax − y = 3 có nghiệm (1 ;3) .
Lời giải
Phương trình ax − y = 3 có nghiệm ( −1 ;3)

 3 = a.3 − ( −1)  3a = 2  a =
Vậy khi a =

2
3

2
thì phương trình ax − y = 3 có nghiệm ( −1 ;3)
3

⬩Dạng ❷: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Câu 1: Giải các hệ phương trình sau:

 x + 3 y = −2
5 x − 4 y = 28

a) 

2 x + 3 y = −2
0,5 x − 1,5 y = −1

b) 

Lời giải

14

 x + 3 y = −2
5 x − 4 y = 28

a) 

 x = −3 y − 2

5 ( −3 y − 2 ) − 4 y = 28
 x = −3 y − 2

−19 y = 38
x = 4

 y = −2
Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( 4; −2) .

2 x + 3 y = −2
0,5 x − 1,5 y = −1

b) 

2 x + 3 y = −2

 x − 3 y = −2
3 x = −4

 x − 3 y = −2
4

x
=
−

3

y = 2

9
 4 2
 3 9

Vậy hệ đã cho có nghiệm là  − ;  .
Câu 2: Giải các hệ phương trình sau:

5( x + 2) = 2( y + 7)
3( x + y ) = 17 − x

a) 


( x + 2 )( y − 5 ) = xy − 50

( x + 4 )( y + 4 ) = xy + 216

b) 

Lời giải

5( x + 2) = 2( y + 7)
3( x + y ) = 17 − x

a) 

5 x − 2 y = 4

 4 x + 3 y = 17

15

15 x − 6 y = 12

8 x + 6 y = 34
23 x = 46

5 x − 2 y = 4
x = 2

y = 3
Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( 2;3) .


( x + 2 )( y − 5 ) = xy − 50

( x + 4 )( y + 4 ) = xy + 216

b) 

 xy + 2 y − 5 x − 10 = xy − 50

 xy + 4 x + 4 y + 16 = xy + 216
5 x − 2 y = 40

 x + y = 50
5 x − 2 y = 40

 2 x + 2 y = 100
7 x = 140

 x + y = 50
 x = 20

 y = 30
Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( 20;30 ) .

x+ y x− y
 5 = 3
Câu 3: Giải hệ phương trình 
 x = y +1
 4 2
Lời giải

x+ y x− y
 5 = 3

 x = y +1
 4 2

16

3x + 3 y = 5 x − 5 y

x = 2 y + 4
2 x = 8 y

x = 2 y + 4
x = 4 y

x = 2 y + 4
2 y − 4 = 0

x = 4 y
y = 2

x = 8
Vậy hệ đã cho có nghiệm là (8;2 ) .

 x( x − 2) − 2( y − x) = 2
2 x( x − 2) + (4 x + y ) = 9

Câu 4: Giải hệ phương trình 

Lời giải

 x( x − 2) − 2( y − x) = 2

2 x( x − 2) + (4 x + y ) = 9
2
 x − 2 y = 2
 2
2 x + y = 9

 x2 = 4

y =1

 x = 2

 y = 1
  x = −2

  y = 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( 2;1) hoặc ( −2;1) .
Câu 5: Giải các hệ phương trình sau:


 x +
b) 
x −



x + 2 7 y = − 7
a) 

2 x − 7 y = 2 7 + 7

17

y 7
=
3 3
y −1
=
2 6

Lời giải


x + 2 7 y = − 7

a) 


2 x − 7 y = 2 7 + 7

2 x + 4 7 y = −2 7

2 x − 7 y = 3 7
5 7 y = −5 7

 x + 2 7 y = − 7

 y = −1

 x = 7

 x +
b) 
x −


y 7
=
3 3
y −1
=
2 6

3 x + y = 7

6 x − 3 y = −1
9 x + 3 y = 21

6 x − 3 y = −1
15 x = 20

3 x + y = 7
4

x =
3

 y = 3
Câu 6: Giải các hệ phương trình sau:

 x 2 + xy + 2 = 3x + y
b)  2
2
 x + y = 2
6 x3 + x 2 y − x = 10
d)  2
 x − 2 x − y + 6 = 0

 x 2 + y (3 x + y ) = 5
a) 
( x + y )( x + y + 1) + xy = 7


2 x − y = 1
2
2

3 ( y − 3x + 1) x + ( y + 2 x + 2 ) ( x − 1) = −3 y

c) 

Lời giải

 x 2 + y (3 x + y ) = 5

a) 

( x + y )( x + y + 1) + xy = 7
18

( x + y )2 + xy = 5

2
( x + y ) + ( x + y ) + xy = 7
( x + y ) 2 + xy = 5

x + y = 2

 xy = 1 (1)

 x + y = 2 (2)
Từ suy ra y = 2 − x thay vào ta được

x(2 − x) = 1  ( x −1)2 = 0

x = 1 y = 1.
2
 x + xy + 2 = 3x + y (1)
b)  2
2
(2)
 x + y = 2

Biến đổi phương trình đưa về dạng tích

x2 + xy + 2 = 3x + y

(x

2

− x ) + ( xy − y ) − ( 2 x − 2 ) = 0

( x −1)( x + y − 2) = 0
x −1 = 0
x + y = 2

c)Từ phương trình thứ nhất của hệ ta rút ra y = 2 x − 1 rồi thay vào phương trình thứ 2 để tìm
x
d)Từ pt thứ hai của hệ ta rút ra y = x2 − 2x + 6 rồi thay vào phương trình thứ nhất tìm x

19