ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

LẠNG SƠN

NĂM HỌC: 2025 – 2026
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.
1. Tính giá trị cuia biểu thức:
=
A

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

(

; B = 3− 3
100 64
−

)

2

+ 3.

x −1
1 
 3
2. Cho biếu =
thức Q 
với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1 .
+
:
x −2 x −2
 x +2
a) Rút gọn Q .
4
b) Tìm x để Q = .
5

1
 x− y =
1. Giải hệ phương trình 
8
2 x + y =
2. Tìm x > 0 để chu vi của tam giác lớn hơn chu vi của hình chữ nhật, với các kích thước được
cho trong hình sau:

Biểu đồ cột kép bên dırới biểu thị số lượng học sinh của lởp 9A tại một trường trung học cơ sở:

1) Số học sinh lớp 9A là bao nhiêu? Tổ nào có nhiều học sinh nữ nhất?
2) Giáo viên của một trường trung học phổ thông trên địa bàn đến lớp 9A làm công tác tư vấn
tuyển sinh vào lớp 10 , giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh để tìm hiểu nguyện vọng 1 khi thi
vào trường trung học phổ thông. Tính xác suẩt của các biển cố sau:
a) E: "Bạn được chọn là thành viên tổ 1 ".
b) F: "Bạn đırợc chọn là học sinh nữ và không phai thành viên tổ 1 "?
1. Vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 2

0 (*)
2. Cho phương trình x 2 − 5 x + 2 =
a) Chứng minh rằng phurơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
1 1
b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức P = x1 + x2 + +
x1 x2

THCS.TOANMATH.com

Trang 1

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

1. Để tìm khoảng cách d từ một ngôi nhà trên bờ đến một ngôi nhà trên đảo, người khảo sát đo từ
ngôi nhà trên bờ đển điểm B là 40 m , sau đó sử dụng dụng cụ đo góc để xác dịnh số đo góc
 = 42 (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách d (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
B

2. Một ống nghiệm phần thân là hình trụ có chiểu cao 18cm và đáy là nửa hình cầu có dırờng
kính 2 cm (tham khảo hình bên). Để tiến hành thi nghiệm đảm bảo an toàn, ngırời ta khuyến cáo
lượng hóa chất không được vượt quá một nửa phần thân ống nghiệm (kết quả mỗi ý làm tròn đến
hàng phần mười, đơn vị tính là cm3 , lấy π ≈ 3,14 )
a) Tính thể tích phẩn đáy của ống nghiệm.
b) Xác định thể tích phẩn ống nghiệm tối đa cho phép để thực hiện thí nghiệm an toàn.

Câu 6.

Cho đường tròn ( O ) . Từ điểm P nằm ngoài đırờng tròn ( O ) kẻ hai tiếp tuyến PB và PC (B và C
là hai tiếp điểm).
1. Chứng minh bốn điểm O, B, P, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Biết OP cắt BC tại H . Chứng minh rằng OH ⊥ BC và OB 2 = OP.OH .
3. Kẻ đường kính BA, đường thẳng qua O vuông góc với PA tại I cắt BC tại T . Tia PA cẳt đường
tròn ( O ) tại M (khác A), tia MO cắt đường tròn ( O ) tại K (khác M). Chứng minh rằng:

K , I , C thẳng hàng.

HẾT

THCS.TOANMATH.com

Trang 2

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.
1. Tính giá trị cuia biểu thức:
=
A

(

; B = 3− 3
100 64
−

)

2

+ 3.

x −1
1 
 3
2. Cho biếu =
thức Q 
với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1 .
+
:
x −2 x −2
 x +2
a) Rút gọn Q .
4
b) Tìm x để Q = .
5
Lời giải
1.
100 − 64
=
A
= 10 − 8 = 2

B = (3 − 3) 2 + 3
=3 − 3 + 3

=3 − 3 + 3 =3
2.
x −1
1 
 3
có: Q 
a) Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1 ta=
+
:
x −2 x −2
 x +2

=
Q
=
Q
=
Q

=
Q

Q=

( x − 2) + x + 2 ⋅
( x − 2)( x + 2)

3

3 x −6+ x +2

(
(

(

x −2

)(

x +2

4 x −4
x +2

4

(

x +2

)(

x −2

)

x −1

)(

x −2

x −2
x −1

)

⋅

x −2
x −1

)

⋅

x −2
x −1

)

⋅

x −2
x −1

4
x +2

4
với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1 .
x +2
4
4
4
=
b) Đề Q = thì
5
x +2 5
x +2=
5
x =3
x = 9 (thỏa mãn)
Vậy x = 9 là giá trị cần tìm.
Vậy Q =

Câu 2.

1
 x− y =
1. Giải hệ phương trình 
8
2 x + y =
2. Tìm x > 0 để chu vi của tam giác lớn hơn chu vi của hình chữ nhật, với các kích thước được
cho trong hình sau:
THCS.TOANMATH.com
Trang 3

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

1
 x− y =
1. Ta có 
8
2 x + y =
1
x − y =

 3x = 9
 x=3

 y= x − 1
x = 3

y = 2

Lời giải

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( x, y ) = ( 3; 2 ) .
2. Chu vi hình tam giác là: ( x + 2 ) + ( x + 6 ) + ( x + 7 ) = 3 x + 15
Chu vi hình chữ nhật là: 2 ( x + 1 + x + 3)= 2 ( 2 x + 4 )= 4 x + 8

Câu 3.

Chu vi tam giác lớn hơn chu vi hình chữ nhật: 3 x + 15 > 4 x + 8
− x > −7
x<7
Kết hợp với điều kiện x > 0 ta được 0 < x < 7 .
Vậy 0 < x < 7 là giá trị cần tìm.
Biểu đồ cột kép bên dırới biểu thị số lượng học sinh của lởp 9A tại một trường trung học cơ sở:

1) Số học sinh lớp 9A là bao nhiêu? Tổ nào có nhiều học sinh nữ nhất?
2) Giáo viên của một trường trung học phổ thông trên địa bàn đến lớp 9A làm công tác tư vấn
tuyển sinh vào lớp 10 , giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh để tìm hiểu nguyện vọng 1 khi thi
vào trường trung học phổ thông. Tính xác suẩt của các biển cố sau:
a) E: "Bạn được chọn là thành viên tổ 1 ".
b) F: "Bạn đırợc chọn là học sinh nữ và không phai thành viên tổ 1 "?
Lời giải
1) Số học sinh của lớp 9A là: 6 + 5 + 4 + 6 + 5 + 5 + 6 + 4 =
41 (học sinh)
Tổ 2 có nhiều học sinh nữ nhất.
2)
a) Có 41 kết quả có thể xảy ra.
Số học sinh cùa tổ 1 là: 6 + 5 =
11 (học sinh)
Suy ra có 11 kết quả thuận lợi cho biến cố E .
11
Vậy xác suất của biến cố E là:
.
41
THCS.TOANMATH.com

Trang 4

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

Câu 4.

b) Số học sinh nữ không phải tổ 1 là: 6 + 5 + 4 =
15 (học sinh)
Suy ra có 15 kết quả thuận lợi cho biến cố F
15
Vậy xác suất của biến cố F là:
.
41
1. Vẽ đồ thị hàm số y = 2 x 2

0 (*)
2. Cho phương trình x 2 − 5 x + 2 =
a) Chứng minh rằng phurơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
1 1
b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức P = x1 + x2 + +
x1 x2
Lời giải
1. Ta có bảng giá trị sau:
x
0
−2
−1
1
2
y
8
0
8
2
2
Đồ thị là đường cong parabol đi qua các điểm: O ( 0;0 ) ; A ( −2;8 ) ; B ( −1; 2 ) ; C (1; 2 ) ; D ( 2;8 )
Hệ số a= 2 > 0 nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
Ta vẽ được đồ thị hàm số y = 2 x 2 như sau:
2.
2
a) Ta có: ∆ = ( −5 ) − 4.2 = 17 > 0
Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

Câu 5.

5
 x1 + x2 =
b) Theo định lí Viete ta có 
 x1 x2 = 2
1 1
Khi đó P = x1 + x2 + +
x1 x2
x +x
= x1 +  x2 + 1 2
x1 x2
5 15
=5 + =
2 2
15
Vậy P = .
2
1. Để tìm khoảng cách d từ một ngôi nhà trên bờ đến một ngôi nhà trên đảo, người khảo sát đo từ
ngôi nhà trên bờ đển điểm B là 40 m , sau đó sử dụng dụng cụ đo góc để xác dịnh số đo góc
 = 42 (tham khảo hình bên). Tính khoảng cách d (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
B

2. Một ống nghiệm phần thân là hình trụ có chiểu cao 18cm và đáy là nửa hình cầu có dırờng
kính 2 cm (tham khảo hình bên). Để tiến hành thi nghiệm đảm bảo an toàn, ngırời ta khuyến cáo
lượng hóa chất không được vượt quá một nửa phần thân ống nghiệm (kết quả mỗi ý làm tròn đến
hàng phần mười, đơn vị tính là cm3 , lấy π ≈ 3,14 )
a) Tính thể tích phẩn đáy của ống nghiệm.
THCS.TOANMATH.com

Trang 5

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

b) Xác định thể tích phẩn ống nghiệm tối đa cho phép để thực hiện thí nghiệm an toàn.

Lời giải
d
1. Xét tam giác vuông, ta có =
tan B tan
=
42
40

40 ⋅ tan 42 ≈ 36 ( m )
Suy ra d =
Vậy khoảng cách d là 36 m .
2.

1 4
1 4
⋅ ⋅ π r 3 =  1
⋅ ⋅ π ⋅ 3 ≈ 2,1 cm3
2 3
2 3
b) Thể tích của phần nửa trên ống nghiệm là V = π r 2 h = π ⋅12 ⋅ 9 = 28, 26 ( cm3 )

(

a) Thề tích phần đáy ống nghiệm: Vd =

)

Vậy phần thể tích tối đa cho phép để thí nghiệm an toàn là V =
2,1 + 28, 26 ≈ 30, 4 ( cm3 )

Câu 6.

Cho đường tròn ( O ) . Từ điểm P nằm ngoài đırờng tròn ( O ) kẻ hai tiếp tuyến PB và PC (B và C
là hai tiếp điểm).
1. Chứng minh bốn điểm O, B, P, C cùng thuộc một đường tròn.
2. Biết OP cắt BC tại H . Chứng minh rằng OH ⊥ BC và OB 2 = OP.OH .
3. Kẻ đường kính BA, đường thẳng qua O vuông góc với PA tại I cắt BC tại T . Tia PA cẳt đường
tròn ( O ) tại M (khác A), tia MO cắt đường tròn ( O ) tại K (khác M). Chứng minh rằng:

K , I , C thẳng hàng.

Lời giải

 = 90
1. Vì PB là tiếp tuyến của ( O ) nên PB ⊥ OB tại B hay OBP
Tam giác OBP vuông tại B nên O, B, P thuộc đường tròn đường kính OP
 = 90
Vì PC là tiếp tuyến của ( O ) nên PC ⊥ OC tại C hay OCP
Tam giác OCP vuông tại C nên O, C , P thuộc đường tròn đường kính OP
Suy ra bốn điểm O, B, P, C cùng thuộc đường tròn đường kính OP .

2. Vì PB và PC là hai tiếp tuyến cẳt nhau tại P của ( O ) nên ta có PB = PC
THCS.TOANMATH.com

Trang 6

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

Suy ra P thuộc đường trung trực của BC
Mà OB = OC nên O thuộc đường trung trực của BC
Suy ra OP là dường trung trực của BC
Do đó OP ⊥ BC tại H hay OH ⊥ BC
Xét OHB và OBP có:


Góc O chung OHB
= OBP
= 90
Suy ra ∆OHB ∼ ∆OBP (g.g)
OH OB
hay OB 2 = OP.OH .
Suy ra
=
OB OP


3. Xét ∆OPI và ∆OIH có ∠POT chung và OHT
= OIP
= 90
OP OI
Suy ra ∆OPI ∼ ∆OTH (g.g ) nên
hay OP.OH = OI .OT
=
OT OH
OI OB
Suy ra OI .OT = OB 2 nên
=
OB OT
 chung nên suy ra ∆OBT ∼ ∆OIB (g.g )
Kết hợp với BOT
 = OBT
 (1)
Suy ra OIB
 = MKB
 suy ra MA//KB
Ta có ∆OMA =
∆OKB (g.c.g ) nên KMA
Lại có OI ⊥ AM , OAM cân nên OI là trung trục đồng thời là phân giác của AM
 suy ra IOB
 = IOA
 = IOK
 (cùng cộng với 2 góc đối đinh bằng nhau)
Suy ra IOM
 (2)
 = OIK
Khi đó ∆OIB =
∆OIK (c.g.c ) suy ra OIB
Do OIP vuông tại I và OPC vuông tại C nên O, I , C , P cùng thuộc đường tròn đường kính OP
 (cùng cộng với OIC
 = CPO
 bằng 180 )
Suy ra CIT
 = OBT
 (cùng chắn cung OC)
Mà CPO
 (3)
 = CBT
Suy ra CIT
 = OIK

Từ (1), (2), (3) suy ra CIT
 + CIO
=
 + OIK
=
Mà CIT
180 hay C , I , K thẳng hàng.
180 nên CIO

HẾT

THCS.TOANMATH.com

Trang 7