ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

(1, 5 điểm).

a) Bảng sau thống kê tiền lương 50 công nhân của một công ty trong tháng 5 năm 2025 :
Tiền lương (triệu đồng)

[7;8)

[8;9 )

[9;10 )

[10;11)

[11;12 )

[12;13)

Tần số

10

7

10

8

9

6

Hỏi nhóm nào có tần số nhỏ nhất? Tính tần số tương đối của nhóm đó.
b) Một tổ học sinh có 3 bạn nữ là Hoa, Hồng, Hà và 4 bạn nam là An, Bình, Dũng, Cường. Xét
phép thử: "Chọn ngẫu nhiên một bạn từ tổ học sinh đã cho ". Tính xác suất của biến cố A : "Bạn
học sinh được chọn là nam ".
Lời giải
a) Nhóm nào có tần số nhỏ nhất là [12;13) .
6
⋅ 100% =
12%
50
b) Không gian mẫu của phép thử "Chọn ngẫu nhiên một bạn từ tổ học sinh đã chọn" là: Ω ={ Hoa,

Tần số tương đối của nhóm đó là:

Hồng, Hà, An, Bình, Dũng, Cường

}

Số phần từ của không gian mẫu là: 7 .
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A : "Bạn học sinh được chọn là nam" là 4 , đó là: An, Bình, Dūng,
Cường.
4
Xác suất của biến cố A : "Bạn học sinh được chọn là nam" là .
7
4
Vậy xác suất của biến cố A : "Bạn học sinh được chọn là nam" là .
7
Câu 2:

(2, 0 điểm).
a) Tính A =

2 ⋅ 8 + 25

6  x +1
 1
b) Rút gọn biểu =
thức B 
, với ( x > 0, x ≠ 9 )
+
:
 x +3 x −9 x −3 x
c) Tìm b để đường thẳng y= x + b cắt đồ thị hàm số y = 2 x 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 .
Lời giải
a) A =
A=

2 ⋅ 8 + 25

2 ⋅ 8 + 25

=
A
16 + 25
A = 4+5 = 9
b) ĐК: x > 0, x ≠ 9
6  x +1
 1
=
B 
+
:
 x +3 x −9 x −3 x
 x −3
6  x −3 x
B = 
+
 ⋅
x +1
 x −9 x −9

THCS.TOANMATH.com

Trang 3

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

B
=
B
=

B=

x −3+ 6
⋅
x −9

x ( x − 3)
x +1

x +3
⋅
( x − 3)( x + 3)

x ( x − 3)
x +1

x
x +1

x
với x > 0, x ≠ 9 .
x +1
c) Tìm b để đường thẳng y= x + b cắt đồ thị hàm số y = 2 x 2 tại điểm có hoành độ bằng 1 .

Vậy B =

Với

x = 1 ta có y= 2 ⋅ 12 = 2 .

Điểm đó có tọa độ là (1; 2 ) . Thay vào phương trình đường thẳng y= x + b ta được 2 = 1 + b suy ra
b =1
Vậy b = 1 .

Câu 3:

(2, 5 điểm).

a) Đầu năm học mới, hai bạn Nam và Hùng cùng đi mua bút và vở. Nam mua 10 cái bút và 15
quyển vở hết 200 nghìn đồng, Hùng mua 7 cái bút và 14 quyển vở hết 175 nghìn đồng. Tính giá
của mỗi chiếc bút và giá của mỗi quyển vở (biết giá của mỗi chiếc bút là như nhau và giá của mỗi
quyển vở là như nhau).
b) Tháng 1 năm 2025 , tập đoàn ô tô X sản xuất được 100 xe ô tô. Nhận thấy nhu cầu thị trường
tăng lên, tháng 2 tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên x% so với tháng 1 . Tháng 3 , tập
đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên 2 x% so với tháng 2 . Biết số lượng ô tô sản xuất trong
tháng 3 là 132 xe. Tính x ?

0 có hai nghiệm dương x1 , x2 . Không giải phương trình, tính giá
c) Cho phương trình x 2 − 3 x + 1 =
trị của biếu thức P =

7 x2 − 3 x12
x12 + x22 + x1 x2

.

Lời giải
a) Gọi x, y (nghìn đồng) lần lượt là giá 1 cái bút và 1 quyển vở ( x, y > 0 ) .

200 (1)
Nam mua 10 cái bút và 15 quyển vở hết 200 nghìn đồngnên ta có: 10 x + 15 y =
175 (2)
Hùng mua 7 cái bút và 14 quyển vở hết 175 nghìn đồng nên ta có: 7 x + 14 y =
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
200 2 x + 3 y =
40 2 x + 3 y =
40  x = 5
10 x + 15 y =
(thỏa mãn)




25 2 x + 4 y =
175  x + 2 y =
50  y = 10
7 x + 14 y =
Vậy giá một chiếc bút là 5 nghìn đồng, một quyển vở là 10 nghìn đồng.
b) Tháng 2 , tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên x% so với tháng 1 , nên số lượng xe sản
xuất ở tháng 2 là: 100 + 100 ⋅ x% = 100 + x (xe)
THCS.TOANMATH.com

Trang 4

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

Tháng 3 , tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên 2 x% so với tháng 2 , nên số lượng xe
xản xuất ở tháng 3 là:

100 + x + (100 + x ) ⋅ 2 x% = 100 + 3 x +

2x2
100

Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe, nên ta có:
100 + 3 x +

2x2
132
=
100

2 x 2 + 300 x − 3200 =
0
0
x 2 + 150 x − 1600 =
Giải phương trình ta được x = 10 ( thỏa mãn); x = −160 (loại)
Vậy x = 10
c) P =

7 x2 − 3 x12
x12 + x22 + x1 x2

.

0
Xét phương trình x 2 − 3 x + 1 =
Ta có:
∆ = ( −3) − 4 ⋅ 1
2

∆ = 5 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .

3
 x1 + x2 =
Áp dụng định lí Viète ta có: 
nên phương trình có có hai nghiệm dương x1 , x2
1
 x1 ⋅ x2 =
Khi đó ta có:
Đặt =
A 7 x2 − 3 x12 ; =
B 7 x1 − 3 x22
A+ B =
( 7 x2 − 3x12 ) + ( 7 x1 − 3x22 )
A + B= 7 ( x1 + x2 ) − 3 ( x12 + x22 )
2
A + B= 7 ( x1 + x2 ) − 3 ( x1 + x2 ) − 2 x1 ⋅ x2 



A + B = 7 ⋅ 3 − 3 ( 32 − 2 ⋅ 1)
A+ B =
0 hay A = − B

Suy ra: A = B
THCS.TOANMATH.com

Trang 5

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ
2
A=

A ⋅ B

A2 = 7 x2 − 3 x12 ⋅ 7 x1 − 3 x22
2
A=
49 x1 x2 − 21( x13 + x23 ) + 9 x12 ⋅ x22

2
A=
49 x1 x2 − 21( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) + 9 ( x1 x2 )

2

2
2
A2= 49 x1 x2 − 21( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2  + 9 ( x1 x2 )



A2= 49 ⋅ 1 − 21 ⋅ 1 ⋅ ( 32 − 3 ⋅ 1) + 9 ⋅ 12

A2 = 320
A =8 5
P=

P=

7 x2 − 3 x12

( x1 + x2 )

2

− x1 x2

8 5
32 − 1

Vậy P = 5 .
Câu 4:

(3, 0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) , đường cao AH . Kẻ HD, HE lần
lượt vuông góc với AB , AC ( D ∈ AB, E ∈ AC ) .
a) Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Trên tia đối của tia DH lấy diểm F ( F ≠ D ) . Đường thẳng qua F vuông góc với FB cắt đường
thẳng AH tại G . Kẻ GI vuông góc với HF ( I ∈ HF ) . Chứng minh ∆IFG” ∆HBG và IF = DH
.
c) Tia phân giác của góc HEC cắt CH tại K . Kė KM , KN lần lượt vuông góc với EH , EC

( M ∈ EH , N ∈ EC ) . Hai đoạn thẳng CM

và HN cắt nhau tại T . Gọi P là giao điểm của HN và

KM , Q là giao diểm của CM và KN . Chứng minh ET vuông góc với PQ .
Lời giải

THCS.TOANMATH.com

Trang 6

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

G

A

F
E
M

I
D
B

J

T L

P
H

N

Q
K

C

a) Ta có ∆ADH vuông tại D nên ∆ADH nội tiếp đường tròn đường kính AH .
Ta có ∆AEH vuông tại E nên ∆AEH nội tiếp đường tròn đường kính AH .
Bốn điểm A , D , H , E cùng thuộc đường tròn đường kính AH . Hay tứ giác ADHE nội tiếp đường
tròn đường kính AH .
b) Vì GF ⊥ BF tại F nên ba điểm G, B, F thuộc đường tròn đường kính GB .
∆GHB vuông tại G nên ∆GHB nội tiếp đường tròn đường kính GB
Tứ giác GHBF nội tiếp đường tròn đường kính GB .
 = GBH
 (cùng chắn cung GH ) (1)
Suy ra GFI

= CHB
= 90°
Lại có GI //AB ; AB ⊥ HF nên GIF

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra: ∆GFI ” ∆GBH (g.g)
FI
GI
=
( 3)
HB GH
 = BHD
 (cùng phụ với 
AHD )
Vì BAH


Và HDB= HDA= 90° nên

Hay

∆HBD” ∆AHD (g.g)
HD HB
HD AD
Suy ra
hay
=
=
AD AH
HB AH
AD AH
AD GI
Mặt khác AD //GI nên
hay
=
=
( 4)
GI HG
AH HG
FI HD
Từ ( 3) và ( 4 ) ta có
hay FI = HD .
=
HB HB
c) gọi L là giáo điểm của EQ và PN . Gọi J là giao điểm của CM và EP .

THCS.TOANMATH.com

Trang 7

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

E
M

J

T L

P
H

N

Q
K

C

= ENK
= EMK
= 90° ).
Tứ giác EMKN là hình chữ nhật ( vì MEN
Lại có EK là phân giác góc HEC nên EMKN là hình vuông.
CN NQ KN
nhưng ME = NE suy ra
Vì KN //EH nên = =
CE EM HE
NQ NQ KN EN
= = =
EM NE HE HE
NQ EN
hay
=
NE HE
= NEH
= 90° nên
Lại có ENQ

∆NEQ” ∆EHN (c.g.c)

 = EHN
Suy ra NEQ
 + EHN
=
 + EHN
 =°
Hay NEQ
EHN
90 .
Xét ∆ELN vuông tại L suy ra EQ ⊥ HN tại L
Tương tự ta có EP ⊥ CM tại J .
Xét ∆EPQ có QJ và PL là hai đường cao cắt nhau tại T nên T là trực tâm suy ra ET ⊥ PQ .
Câu 5:

(1, 0 điểm).

a) Một bác nông dân có một bình đựng nước chè xanh, phần chứa nước là dạng hình trụ có bán kính
đáy bằng 4 cm , mực nước trong bình có chiều cao bằng 10 cm . Bác muốn đổ hết nước từ bình
sang một cái bát uống nước, phần chứa nước là dạng nửa hình cầu có bán kính bằng 6 cm (hình vẽ
bên). Hỏi nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài hay không? Vì sao?

b) Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô
cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng 1 cm , một đáy của nhân kẹo nằm trên
mặt đáy của hình nón và có tâm trùng với tâm đáy hình nón, đường tròn đáy còn lại của hình trụ
nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Phần còn lại của kẹo được phủ đầy bằng sữa khô (hình vẽ
bên). Biết rằng công ty đã thiết kế viên kẹo có thể tích nhỏ nhất để tiết kiệm tối đa nguyên liệu sữa
khô. Tính chiều cao của viên kẹo.

THCS.TOANMATH.com

Trang 8

ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – 2025 – 2026
ĐẠI TRÀ

Lời giải

a) Thể tích nước trong bình là: V =π R h =π ⋅ 42 ⋅10 = 160π (  cm3 )
2

Thể tích cái bát là: V='

1 4 3 1 4
⋅ π r = ⋅ π ⋅ 63 = 144π (  cm3 )
2 3
2 3

Vì V > V ' nên nếu đổ như vậy thì nước có bị tràn ra ngoài.
b) Đật AM = x (cm, x > 0)
Khi đó chiều cao viên kẹo là h = OA= x + 1
AM EM
x
1
x +1
hay
Áp dụng định lý Thales ta có:
=
= suy ra R =
OA OB
x +1 R
x
Thể tích viên kẹo là:
2

1 x3 + 3x 2 + 3x + 1
1
1 
1  x +1
1
x
2
π⋅
= π  +1+ + 2 
π
1)
V ==
πR h
 ⋅ ( x +=
2
x 3x 
3  x 
x
3
3
3
x
1
x 1 x

= π + +
+
+ 2 + 1
 4 x 24 24 3 x

Áp dụng bất đầng thức Cauchy ta có:

x 1
x 1
1
+ ≥ 2 ⋅ = 2 ⋅ =1
4 x
4 x
2
x
x
1
x x 1
1 1
+
+ 2 ≥ 33
⋅ ⋅ 2 =3 ⋅ =
24 24 3 x
24 24 3 x
12 4
 1  9π
Suy ra V ≥ π 1 + + 1 =
 4  4
x 1
 4 = x
Dấu " = " xảy ra khi và chi khi 
suy ra x = 2 (tm )
x
1
 =
 24 3 x 2
Vậy chiều cao của viên kẹo là h = 3 ( cm) .
HẾT

THCS.TOANMATH.com

Trang 9