HƯỚNG DẪN CHẤM
(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)
I. TRẮC NGHIỆM ( 2,0 điểm gồm 8 câu, mỗi câu 0,25 điểm)
Câu
Đáp án

1
B

2
A

3
D

4
B

5
D

6
A

7
C

8
B

II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Câu

Nội dung
a) (0,75 điểm ) Giải phương trình: x 2 + 9 x + 8 =
0.

Điểm

2x − y =
3
b) (0,75 điểm) Giải hệ phương trình: 

1,5

3
x + y =

a) Xét phương trình x + 9 x + 8 =
0
có: a − b + c =1 − 9 + 8 = 0
2

9

Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 =
−1; x2 =
−

0,5

c
=
−8
a

0,25

b) Xét hệ phương trình sau:
3 (1)
2 x − y =

3 ( 2)
 x + y =

0,25

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được: 3x = 6 ⇒ x = 2
Thay x = 2 vào phương trình (2) được: 2 + y = 3 ⇒ y =1

0,25

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( x; y ) = ( 2;1)

0,25

 x +6
3  x +3
+
:
x − 2  x + 2
 x−4

=
P 
Rút gọn biểu thức

1,0

(với x ≥ 0; x ≠ 4 ).
Với x ≥ 0; x ≠ 4 ta có:
 x +6
3  x +3
=
+
P 
:
x − 2  x + 2
 x−4

 x +2
x +6
3( x + 2)
=
P 
+
.
 ( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2)  x + 3
10

P=

x +6+3 x +6 x +2
.
( x − 2)( x + 2) x + 3

4 x + 12
x +2
P=
.
( x − 2)( x + 2) x + 3

4( x + 3)
x +2
.
( x − 2)( x + 2) x + 3
4
P=
x −2
4
với x ≥ 0; x ≠ 4 .
Vậy P =
x −2

0,25

0,5

P=

0,25

0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:
Tìm m để phương trình x 2 − 2 x − m =
x12 − x2 2 = 4m + 4

Ta có: ∆ ' = 1 + m
=> Để pt có hai nghiệm x1 ; x2 thì ∆ > 0 ⇔ 1 + m > 0 ⇔ m > −1 .
 x1 + x2 =
2 (1)
Theo hệ thức Viète ta có: 
 x1.x2 = −m ( 2 )

Theo bài ra x12 − x2 2 = 4m + 4
11

( x1 − x1 )( x1 + x2 ) = 4m + 4 (3)

1,0

0,25

0,25

Thay (1) vào (3) ta được: x1 − x2 = 2m + 2 (4)
Với m > −1 , bình phương hai vế của (4) ta có:
( x1 − x2 ) 2 = 4m 2 +8m + 4

( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = 4m 2 + 8m + 4

0,25

4 + 4 m = 4 m 2 + 8m + 4
4m 2 + 4m =
0
4m(m + 1) =
0
Suy ra m = 0 (thỏa mãn), m = −1 (loại)
Vậy m = 0 thỏa mãn điều kiện bài toán.

12

Một nhà máy có hai cơ sở I và II cùng sản xuất ra một loại sản phẩm. Tháng thứ
nhất cả hai cơ sở sản xuất được 9000 sản phẩm. Sang tháng thứ hai do công tác
chuẩn bị tốt nên số sản phẩm cơ sở I sản xuất ra tăng 9% so với tháng thứ nhất,
1,0
còn cơ sở II chuẩn bị chưa tốt nên số sản phẩm sản xuất ra giảm 5% so với tháng
thứ nhất. Biết rằng tổng sản phẩm của hai cơ sở sản xuất được trong tháng thứ hai
là 9250. Tính số sản phẩm của mỗi cơ sở sản xuất được trong tháng thứ nhất.
Gọi số sản phẩm cơ sở I làm trong tháng thứ nhất là x
0,25
Số sản phẩm cơ sở II làm trong tháng thứ hai là y ( x, y ∈ * )
1, 09 x
Tháng thứ hai cơ sở I sản xuất là: x + 0.09 x =
0,25
0,95 y
Tháng thứ hai cơ sở IIsản xuất là: y − 0, 05 y =
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
9000
 x = 5000
x + y =
(tmdk )


9250  y = 4000
1, 09 x + 0,95 y =

13

0,25

0,25

Vậy tháng thứ nhất cơ sở I làm được 5000 sản phẩm, cơ sở II làm đc 4000 sản
0,25
phẩm.
Một cái cốc hình trụ có bán kính đáy r = 0,2 dm, chiều cao h = 2 dm và một viên
bi sắt dạng khối cầu đường kính bằng 0,3 dm.
a. Tính thể tích của viên bi.
1,0
b. Người ta bỏ viên bi sắt vào cốc sau đó đổ đầy nước (trong cốc chỉ có nước
và bi sắt, bề dày đáy và mặt xung quanh của cốc không đáng kể). Hỏi trong
cốc có bao nhiêu lít nước (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân)?
a) Thể tích của viên bị là:
V
=

4 3 4
9
3
=
πR
π .0,15
=
π ≈ 0, 01 (dm3 ) .
3
3
2000

0,5

b) Thể tích của cái cốc hình trụ là:
=
V π=
R 2 h π .0,=
22.2 0, 08π ( dm3 )

0,25

Thể tích nước trong cốc là:

9
151
π=
π = 0, 0755π ≈ 0, 24 (dm3 )
2000
2000
Vậy cốc nước có 0,24 lít nước.
0, 08π −

0,25

Cho một nửa đường tròn đường kính AB . Trên cung AB lấy điểm C
( AC < BC , C ≠ A ). Trên cung BC lấy điểm D ( D ≠ B, D ≠ C ). Kẻ CH vuông
góc với AB tại H , kẻ KC vuông góc với AD tại K . Gọi I là giao điểm của
CH và AD , E là giao điểm của CK và DH .
2,0 đ
a) Chứng minh tứ giác ACKH nội tiếp.
 bằng nhau, IE song song với CD .
 và BCD
b) Chứng minh hai góc HCK

C

D
K

I

E

14

A

H

O

a) Chứng minh tứ giác ACKH nội tiếp.
Gọi O là tâm của đường tròn đường kính AB.
Xét ∆ CHA vuông tại H
Nên A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC
Xét ∆ CKA vuông tại K
Nên A, K, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC
Suy ra A, C, K, H thuộc đường tròn đường kính AC
Hay tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn dường kính AC.
 = BCD
 , IE // CD
c)Chứng minh HCK

B
1,0
0,25
0,25
0,5
1,0

C

D
K

I

A

E

B

O

H

 = BCD

* Chứng minh HCK
Vì tứ giác ACKH nội tiếp đường tròn nên:
 = HCK
 (góc nội tiếp chắn cung HK)
HAK

0,25

 = BAD
 (góc nội tiếp chắn cung BD)
Xét (O) có BCD
 = BCD
 .
Nên HCK

0,25

* Chứng minh IE // CD

C

D
K

I

E
0,5

A

H

O

M

B

Gọi M là giao điểm của CE và AB
Xét tam giác ACM có AH và AK là 2 đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm
tam giác ACM nên MI là đường cao thứ ba, suy ra MI ⊥ AC (1)

ACB= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) suy ra CB ⊥ AC ( 2 )
Có 
Từ (1) và (2) suy ra: MI // AC.
Xét tam giác CHB có MI // CB nên

HI HM
=
(định lí Thales)
HC HB

Ta có CM ⊥ AD, DB ⊥ AD nên CM // BD (định lí Thales)
Nên EM // BD.
Xét tam giác DHB có EM // DB nên

HM HE
=
HB HD

Suy ra

HI HE
=
HC HD

Xét tam giác CHD có

HI HE
=
, theo định lí Thales đảo suy ra: IE // CD.
HC HD

Ông Việt dùng một tấm tôn phẳng có dạng nửa hình tròn đường kính 4m để tạo thành một
hình thang như sau: Hình thang có 4 đỉnh đều thuộc nửa đường tròn, trong đó đáy lớn là
đường kính của nửa đường tròn. Tính diện tích lớn nhất hình thang mà ông Việt có thể tạo
được.

D

A

H

2x

C

O

K

B

Giả sử ông Việt tạo ra hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường
kính AB = 4 m. Khi đó: OA = OB = OC = OD = 2 m.
Kẻ các đường cao DH và CK.

15

0,25

Đặt CD = 2x (với 0 < 2x < 4 suy ra 0 < x < 2)
Ta suy ra được: HK = 2x , OH = x
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OHD vuông tại A , ta có:
HD = OD 2 − HO 2 = 4 − x 2
( AB + CD). DH
S ABCD =
=
( x + 2) 4 − x 2
2

S ABCD = ( x + 2 ) ( 4 − x 2 )
2

S ABCD = ( x + 2 ) ( 2 − x )
3

Vì x + 2 > 0, 2 − x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
4

x+2 x+2 x+2

3
 3 + 3 + 3 + ( 2 − x )  ( x + 2) ( 2 − x )

 ≥
4
27




3
( x + 2) ( 2 − x )
1≥
27
3
Hay ( x + 2 ) ( 2 − x ) ≤ 27
Suy ra S ABCD ≤ 3 3
x+2
= 2 − x suy ra x = 1 .
3
Vậy diện tích lớn nhất hình thang mà ông Việt có thể tạo được là 3 3 m 2 .

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Chú ý: - Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Đối với câu 14 (Hình học).

0,25

dưới./.

+ Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm;
+ Học sinh không chứng minh mà thừa nhận kết quả của ý trên để giải ý dưới thì không chấm điểm ý
----------------------- HẾT ------------------------